Lepus saxatilis

Lièvre des buissons, Lièvre des rochers

Lièvre des buissons (Parc national Kruger, Afrique du Sud)

Nom binominal

Lepus saxatilis
Cuvier water bottle belt pouch, 1823

Statut de conservation UICN

( LC )
LC  : Préoccupation mineure

Le Lièvre des buissons ou Lièvre des rochers (Lepus saxatilis) est une espèce de lièvre, mammifère terrestre de la famille des Léporidés, décrit par Frédéric Cuvier en 1823.

Ce léporidé a l’allure générale du Lièvre du Cap ; grandes oreilles et queue relativement longue. Dessus fauve à gris brun, fortement pointillé de noir. Glances et pattes un peu plus clairs, nuque marron à roussâtre (cette coloration peut s’étendre jusqu’à l’avant des épaules), dessous du corps et de la queue blanc,dessus de la queue noir. Cercle claire autour de l’œil. Bout des oreilles noir ou foncé deni meat tenderizer. Tache frontale blanche fréquente. Pelage clair ou foncé selon le climat.

Lepus saxatilis a une envergure de 22 à 28 cm pour une hauteur de 8 à 15 cm (sans les oreilles) youth soccer uniforms. Ses oreilles mesurent de 10 à 16 cm. Un adulte pèse de 2 à 3 kg.

On rencontre cette espèce en Afrique du Sud, au Sud de la Cunene et du Zambèze, dans tous les paysages sauf les forêts denses. Il a une préférence pour les collines caillouteuses et broussailleuses, mais fréquente aussi les champs. En montagne, il peut vivre jusqu’à 1 500 m.

Comme le lièvre du Cap, les détails de son mode de vie sont mal connus.

La maturité sexuelle se situe vers 6 mois. Pendant l’accouplement le lièvre des buissons pousse des « vagissements ».

Dans le sud, il a 2 portées annuelles et dans le nord, 3 à 4 portées, de 1 à 3 levrauts chacune. La mise bas a lieu dans la végétation touffue.

Selon Catalogue of Life (3 janv. 2013) :

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Fraction continue d’un irrationnel quadratique

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d’un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme

Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c’est-à-dire s’il est solution d’une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d’entiers (an) est périodique à partir d’un certain rang.

L’intérêt de l’étude de la fraction continue d’un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l’algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d’extraction de racine carrée. La connaissance de la fraction continue permet, aussi, entre autres, de résoudre la célèbre équation diophantienne dite de Pell-Fermat : x2ny2 = ±1.

On peut calculer la fraction continue d’un irrationnel quadratique en utilisant l’identité remarquable (a + b)(a – b) = a2b2 à chaque étape, comme dans l’exemple suivant.

et

En appliquant le même algorithme sur x1 :

et ainsi:

On calcule de la même façon






x



3






{\displaystyle x_{3}}


 :

on continue ainsi et on calcule les termes suivant du développement jusqu’à






x



6






{\displaystyle x_{6}}


ː






a



3




=


1


,


 



a



4




=


1


,


 



a



5




=


6


,


 



x



6




=







13




+


3



4




.




{\displaystyle a_{3}=1,~a_{4}=1,~a_{5}=6,~x_{6}={\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}.}


Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l’article « Fraction continue » : le quotient partiel an est la partie entière du quotient complet xn, sa partie fractionnaire étant 1/xn+1. La réduite d’indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l’aide de n + 1 coefficients ; elle est notée hn/kn. Si l’on remplace an–1 par an–1 + 1/xn dans l’expression de la réduite d’indice n – 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x0 est la valeur initiale.

Dans l’exemple choisi,

Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification :

Enfin, le quotient complet






x



6






{\displaystyle x_{6}}


est égal à






x



1






{\displaystyle x_{1}}


, ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite « périodique à partir d’un certain rang » et l’on utilise la notation :

la barre signifiant une répétition à l’infini de la suite d’entiers qu’elle couvre.

Dès le VIe siècle, Aryabhata (476-550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés. Si Brahmagupta (598-668), un autre mathématicien indien, s’intéresse à l’équation de Pell-Fermat et utilise une identité remarquable pour la résoudre, il faut attendre le XIIe siècle et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme, la méthode chakravala, correspond à celui de l’article, à la différence près que a0 n’est pas toujours inférieur au nombre à approcher. Cette différence est reportée à tous les coefficients an, qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité accélère un peu la recherche de la solution.

Ce n’est que plus tard que l’Europe s’intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le XVIe siècle pour que Rafael Bombelli fasse usage d’un ancêtre des fractions continues pour le calcul d’approximations de la racine carrée de 13. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l’applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet, il choisit l’exemple de la valeur 18. On retrouve des résultats de même nature chez Albert Girard en 1625, puis 1634, pour approcher 2 et 10.

À la suite d’un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker, trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d’un irrationnel quadratique à l’équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l’équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, mais ces travaux ont été perdus ; il défie Brouncker de trouver une solution à l’équation pour n = 313. Dans sa réponse, ce dernier indique qu’il ne lui a pas fallu « plus d’une heure ou deux pour la trouver ». Cette réponse est la suivante :

Ces informations proviennent d’une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement publiée par John Wallis en 1658.

Le siècle suivant est celui des démonstrations. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie ; il montre aussi que si la représentation en fraction continue d’un nombre est périodique, à partir d’un certain rang, alors ce nombre est un irrationnel quadratique. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d’une réciproque ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de Brouncker. Les propriétés de la fraction continue d’un irrationnel quadratique sont alors essentiellement élucidées ; il ne reste plus qu’à comprendre dans quel cas une fraction continue n’est pas simplement périodique à partir d’un certain rang, mais périodique pure, ce qu’Évariste Galois accomplit en 1828.

Théorème de Lagrange — Un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique à partir d’un certain rang.

Cette équivalence est au cœur de l’intérêt de la notion de fraction continue pour les irrationnels quadratiques. L’un des deux sens est relativement simple à démontrer : si la fraction continue d’un irrationnel x est périodique à partir d’un certain rang, alors x est quadratique (a fortiori, ses quotients complets aussi). Plus d’un siècle après la découverte de cette implication, Lagrange a réussi à démontrer la réciproque, par la méthode ci-dessous.

Par hypothèse, x a un développement p-périodique à partir d’un certain rang r. On en déduit, si xr désigne son quotient complet d’indice r :

Par conséquent, si h’i (resp. k’i) désigne le numérateur (resp. le dénominateur) de la i-ème réduite de la fraction continue [ar, ar + 1, … , ar+p–1], l’égalité suivante est vérifiée :

et xr est algébrique de degré au plus 2. Comme l’irrationnel x appartient à ℚ(xr) (corps quadratique), il est algébrique de degré 2.

La méthode consiste à construire par récurrence une suite de polynômes Pn, du second degré, à coefficients entiers, et dont le ne quotient complet xn de x est racine, puis à montrer que les coefficients de ces polynômes ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs. Ces polynômes sont alors en nombre fini N, si bien que les quotients complets sont en nombre fini (≤ 2N). La suite des quotients complets se répète alors, d’où son caractère périodique.

On définit par récurrence les Pn — qui seront même de la forme αnX2 + βnX + αn–1 — à partir d’un P0 = α0X2 + β0X + α–1 dont x est racine par hypothèse, en utilisant que xn = an + 1/xn+1 (où l’entier an est le n-ième quotient partiel de x) : puisque αn(an + 1/xn+1)2 + βn(an + 1/xn+1) + αn–1 = Pn(xn) = 0, l’irrationnel xn+1 est racine de Pn(an)X2 + (2αnan + βn)X + αn donc il suffit de poser αn+1 = Pn(an) et βn+1 = 2αnan + βn.

Un simple calcul permet alors de vérifier que la suite des discriminants βn2 – 4αnαn–1 est constante. Par conséquent, pour prouver que les deux suites d’entiers (αn) et (βn) sont bornées, donc ne prennent qu’un nombre fini de valeurs, il suffit de démontrer qu’à partir d’un certain rang, αk+1αk < 0, c’est-à-dire que xk+1 et son élément conjugué, noté (xk+1)c, sont de signes contraires.

Pour cela, on remarque d’abord que pour tout j > 0, xj > 1 mais que pour au moins un j > 0, (xj)c < 1 (sinon, x et xc auraient même développement en fraction continue donc seraient égaux). Pour un tel j, on constate alors que (par récurrence) pour tout kj, (xk+1)c = 1/((xk)c – ak) < 0, ce qui conclut. (Remarquons, en vue de la démonstration de la section suivante, que dès que (xk)c < 0 — donc ici : dès que k > j — on a même 1/(xk+1)c < –1, c’est-à-dire –1 < (xk+1)c < 0.)

D’après ce qui précède, les quotients complets xn ne prennent qu’un nombre fini de valeurs. Il existe donc deux entiers r < r + p tels que xr+p = xr. Le développement de x est alors p-périodique à partir du rang r.

Lagrange a même prouvé que pour un irrationnel quadratique de la forme (P + √D)/Q, les quotients partiels ai sont majorés par 2D et la période par 2D. Des arguments plus fins, basés sur la fonction diviseur, montrent que cette période est un grand O de D log(D).

La p-périodicité à partir d’un rang r du développement d’un irrationnel quadratique x s’écrit, avec la même notation que dans le préambule :

Certains nombres possèdent un développement purement périodique, c’est-à-dire dès le premier coefficient (r = 0). C’est le cas, par exemple, du nombre d’or φ. En effet,

La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur. Le nombre x est nécessairement un irrationnel quadratique donc son polynôme minimal est de degré 2. La réponse — prouvée par Galois (alors qu’il était encore lycéen) mais déjà implicite dans le travail antérieur de Lagrange — s’exprime en fonction du conjugué xc de x, qui est l’autre racine de son polynôme minimal :

Théorème de Galois — Si x a un développement en fraction continue purement périodique x = [a0, a1, … , ap–1] alors son conjugué xc vérifie –1/xc = [ap–1, … , a1, a0], en particulier x est un irrationnel quadratique réduit, c’est-à-dire que x > 1 et –1 < xc < 0.

Réciproquement, le développement en fraction continue de tout irrationnel quadratique réduit est purement périodique.

La propriété précédente permet d’obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d’une racine d’un entier — ou plus généralement d’un rationnel — non carré parfait :

Théorème de Legendre — Si d > 1 est un rationnel non carré, la fraction continue de d est de la forme

Réciproquement, tout réel dont la fraction continue est de cette forme est la racine carrée d’un rationnel non carré.

Soit d > 1 un rationnel non carré. Posons a0 = [d] et α = a0 + d. Alors, αc = a0d donc α est réduit. Son développement est donc purement périodique. Si p désigne la période, on aura α = [2a0, a1, … , ap–1] et d’après la section précédente,

La période privée de son dernier terme 2a0 forme alors un palindrome, pouvant ou non avoir un terme médian. Par exemple, √13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6] et 19 = [4, 2, 1, 3, 1 ,2, 8].

La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l’équation de Pell-Fermat suivante, si d est un entier positif non carré :

Une solution est un couple (a, b) d’entiers tel que a2db2 soit égal à ±1. À part les solutions triviales (1, 0) et (–1, 0), toutes se déduisent de celles pour lesquelles a et b sont strictement positifs, en changeant le signe de a ou b. Trois propositions permettent ensuite de comprendre comment se structurent les solutions :

Démontrons le premier point, selon lequel toute solution (a, b) de l’équation (1) avec a, b > 0 est égale au couple (numérateur, dénominateur) de l’une des réduites de d.

On a d’une part

et d’autre part

On obtient alors la majoration suivante, qui — d’après l’article « Fraction continue et approximation diophantienne » — montre que (a, b) correspond à l’une des réduites de d :

Les deux autres points seront généralisés et démontrés au § suivant.

En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d’un anneau d’entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneaux d’entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, pour démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d’apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf. « Anneau des entiers de ℚ(√5) »).

On est amené à chercher les éléments inversibles de l’anneau ℤ[ω] qui sont de la forme a + bω où ω est un entier quadratique et a et b des éléments de ℤ. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantiennes suivantes, où d est un entier non carré parfait et f un entier tel que 4f + 1 n’est pas un carré parfait :

La première pour d > 0 a déjà été étudiée. Puisque les solutions a + bd avec a et b > 0 sont données, par ordre croissant des a, par les puissances de l’unité fondamentale hp–1 + kp–1d (où p est la période de d) et sont aussi, d’après ce qui précède, les hqp–1 + kqp–1d (pour q > 0), on a hqp–1 + kqp–1d = (hp–1 + kp–1d)q, ce qui offre un moyen de calculer directement cette sous-suite des réduites de d, par la formule du binôme ou par récurrence.

La deuxième pour f > 0 est très similaire. On dispose d’abord d’un analogue de la première des trois propriétés du § précédent :[réf. souhaitée]

Si d = 4f + 1 et si le couple d’entiers (a, b), avec b > 0 et a + b/2 ≥ 0 youth soccer uniforms, est solution de l’équation (2), alors a/b est une réduite de

Soit





ω



=





1


+




d





2




.




{\displaystyle \omega ={\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}.}






(


x


+


ω



y


)


(


x






α



y


)


=



(


x


+





y


2





+




d







y


2





)




(


x


+





y


2











d







y


2





)



=




(


x


+





y


2





)




2








d




(





y


2





)




2




=



x



2




+


x


y


+





1






d



4





y



2






{\displaystyle (x+\omega y)(x-\alpha y)=\left(x+{\tfrac {y}{2}}+{\sqrt {d}}{\tfrac {y}{2}}\right)\left(x+{\tfrac {y}{2}}-{\sqrt {d}}{\tfrac {y}{2}}\right)=\left(x+{\tfrac {y}{2}}\right)^{2}-d\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{2}=x^{2}+xy+{\frac {1-d}{4}}y^{2}}


donc l’équation (2) s’écrit :

Soit (a, b) un couple solution tel que b ≥ 1 et a + b/2 ≥ 0, on obtient d’une part

et d’autre part

Le minorant de droite est généralement strictement supérieur à 2 et l’on obtient alors la majoration suivante, qui montre que a/b est une réduite de α :

La seule exception survient lorsque d = 5 et b = 1 :







1


2





(




5






4




+




5




)



<


2




{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5-4}}+{\sqrt {5}}\right)<2}


mais dans ce cas, a est égal à 0 ou 1, or 0/1 et 1/1 sont bien des réduites de (5 – 1)/2 = φ – 1 = [0, 1].

Les deux autres propriétés se généralisent comme suit,[réf. souhaitée] donc s’appliquent aussi bien à α = d que (si d est congru à 1 modulo 4) à α = (d – 1)/2 :

Soient α un entier quadratique dont le conjugué est inférieur à la partie entière, p sa période et hi/ki ses réduites.

Les propriétés de la fraction continue d’un irrationnel quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Si l’on cherche la racine de 3, on trouve dans un premier temps :

Le quotient complet (3 – 1)–1 = (3 + 1)/2 a déjà été développé en fraction continue ; on en déduit l’expression :

Les réduites hn/kn se calculent par récurrence :

ce qui donne les approximations suivantes de 3 :

Ainsi, à la 10e étape, on obtient la fraction 989/571, approximativement égale à 1,732 049 alors que les 7 premiers chiffres significatifs exacts sont 1,732 051. La précision de cet algorithme à l’étape n est meilleure que 1/kn2 (et même, puisqu’ici la période est 2, meilleure que 1/(2kn2) si n est impair, d’après le § « Structure de la solution » ci-dessus). Pour l’approximation d’indice 10, on sait donc que l’erreur est inférieure à 1/5712, meilleure que le 300000e. Une force de cet algorithme est la « qualité » des solutions proposées, où toute fraction de type a/b avec b strictement inférieur à 571 sera nécessairement moins bonne que la dixième réduite de la fraction continue, au sens ci-dessus (et même en un sens plus fin, précisé dans l’article Fraction continue et approximation diophantienne). Par exemple, la meilleure approximation décimale de la racine de 3 avec deux chiffres significatifs, égale à 17/10, commet une erreur supérieure au 50e. Celle un peu équivalente 19/11 correspondant à la réduite d’indice 4 propose une approximation au 100e, soit deux fois meilleure.

Les solutions (aq, bq) = (hqp–1, kqp–1) de l’équation de Pell-Fermat donnent une suite extraite de la suite des réduites de n, qui converge donc plus vite que cette dernière. De plus, puisque aq + bq√n est de la forme (a + b√n)q, on peut accélérer encore la convergence en ne calculant que certaines de ces puissances, par exemple les uj + vjn = (a + bn)2j. Puisque

cette sous-suite se calcule par récurrence par :

Par exemple pour n = 3, on trouve a = h1 = 2 et b = k1 = 1 (cf. § précédent) puis

et la précision de u4/v4 dépasse déjà 18 décimales.

La suite des rationnels xj = uj/vj n’est autre que celle produite par la méthode de Héron à partir de x0 = a/b. En effet, d’après la définition des suites (uj) et (vj), on a

Sa convergence est donc quadratique.

L’équation suivante possède une longue histoire :

Brahmagupta l’utilise comme illustration d’un ancêtre de la méthode chakravala dès le VIIe siècle. Il est repris par Bhāskara II qui perfectionne la méthode et lui donne une puissance algorithmique un peu supérieure à celle par les fractions continues, présentée ici.

En février 1657 (à la suite d’un autre défi plus célèbre datant du 3 janvier de la même année), l’exemple est encore repris par Pierre de Fermat dans une lettre à Bernard Frénicle de Bessy (il propose également le cas n = 109). Ce défi est à l’origine des travaux anglais sur les fractions continues des irrationnels quadratiques et leur connexion avec l’équation de Pell-Fermat.

Appliquons l’algorithme des fractions continues pour calculer les quotients complets et partiels :

ce qui donne les premiers quotients partiels : 7, 1, 4, 3, 1, 2 best spill proof water bottle. Il n’est plus nécessaire de continuer. En effet, les quotients complets x5 et x6 sont associés car ils ont le même dénominateur. La moitié du palindrome est donc déjà explicitée. Comme ce phénomène se produit pour deux indices adjacents, on peut en déduire que la période est impaire et égale à 2×5 + 1. On peut aussi en déduire que a6 est égal à a5, ainsi que les termes suivants : 2, 1, 3, 4, 1. Enfin, le dernier terme est égal au double du premier, soit 14. La première solution est alors celle d’indice 10, dont la position est mise en valeur en rouge dans l’expression suivante :

Par les formules de récurrence (comme au § « Première méthode »), on obtient :

On sait, puisque la période est impaire, que cette première solution donne h102 – 61k102 = –1 et non pas +1. Ni Brahmagupta, ni Fermat n’acceptent ce type de solution. La bonne réduite est donc la 21e. Pour la calculer, on peut soit prolonger le calcul, soit utiliser le même principe que celui de la deuxième méthode d’extraction d’une racine :

La solution du défi de Fermat est :

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé «  » ().


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Carona (Schiff)

Das Motorschiff Carona war ein unter Schweizer Flagge fahrendes Handelsschiff.

Die Carona wurde 1948 auf der Werft William Gray & Co. Ltd. in West Hartlepool, England, für die Schweizerische Reederei AG in Basel erbaut. Das 95 Meter lange Schiff mit einer Vermessung von 2.351 Bruttoregistertonnen wurde am 12. April 1949 an den Eigner übergeben. Es besaß einen Sulzer Dieselmotor des Typ 5 TD 56, der seine Leistung von 1 youth soccer uniforms.600 kW (2.150 PS) an einen Festpropeller abgab und dem Schiff eine Geschwindigkeit von 12,5 Knoten (23 Km/h) verlieh. Das Ladegeschirr an Bord bestand aus acht Ladewinden und einem Schwergutbaum (Jumbo) mit 20 Tonnen SWL (Safe Working Load), vier Ladebäumen mit 7,5 Tonnen SWL und vier Ladebäumen mit 4 Tonnen SWL Tragfähigkeit. Die Besatzung umfasste rund 30 Mann, daneben war Platz für zwölf Passagiere vorhanden. Es wurde als Linienfrachter im Bereich Nordeuropa-Westindien/Mittelamerika im Gemeinschaftsdienst mit der Hamburg Amerika Linie (Hapag) verwendet.

Am Tage des Unglücks war das Schiff mit 31 Mann Besatzung sowie zwei weiblichen Passagieren bei dichtem Nebel auf einer Reise von Bremen nach Antwerpen. Es hatte unter anderem Autos geladen. Vor der westfriesischen Insel Terschelling wurde die Carona von der Evaggelistria, einem unter liberianischer Flagge fahrenden Libertyschiff gerammt. Die Evaggelistria fuhr, ohne auf den Vorfall zu reagieren, weiter und rammte kurze Zeit später den deutschen Frachter Byblos. Die Carona wurde beim Zusammenstoß so schwer beschädigt, dass sie im Laufe von 30 Minuten sank. Innerhalb dieser Zeit gelang es der Mannschaft football socks uk, das einzige noch verwendbare und bereits frei von der Steuerbordseite hängende Rettungsboot ins Wasser zu lassen und mit allen an Bord befindlichen Personen zu besetzen. Es war das einzige, das wegen der Schräglage des Schiffes noch zu Wasser gelassen werden konnte. In dichtem Nebel ruderte sie innerhalb von zwei Stunden zum Feuerschiff Terschellingerbank. Dort konnte sie gerettet werden.

Das Rettungsboot wurde von der Besatzung nach Rotterdam gebracht und schließlich nach Basel überführt. Die Reederei schenkte es den Seepfadfindern auf dem Zürichsee. Da die Seepfadfinder das Boot 1988 aufgeben wollten, übernahm es der Seemannsclub der Schweiz (ein Verein zur See fahrender Schweizer). Er arbeitete es anlässlich des 50-Jahre-Jubiläum der Schweizer Hochseeflotte auf und schenkte es danach dem Verkehrshaus der Schweiz. Dort hat es seinen Platz in der Dauerausstellung gefunden.

Koordinaten:


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